Considere o seguinte método de resolução da equação diferencial linear de primeira ordem geral
y^{\prime}+p(t) y=g(t) .
a) Se g(t)=0 para todo t, mostre que a solução é
y=A \exp \left[-\int p(t) d t\right]
em que A é uma constante.
b) Se g(t) não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (4) é da forma
y=A(t) \exp \left[-\int p(t) d t\right]
em que A agora é uma função de t. Substituindo y na equação diferencial por essa expressão, mostre que A(t) deve satisfazer a seguinte condição
A^{\prime}(t)=g(t) \exp \left[\int p(t) d t\right]
c) Encontre A(t) da equação (7) e, em seguida, substitua A(t) na equação (6) por esta solução, determinando, dessa forma, y.
d) Use o método anterior para encontrar a solução do PVI
y^{\prime}-2 y=t^{2} e^{2 t}, \quad y(0)=1
Obs: O método apresentado acima é conhecido como o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o método da variação de parâmetros na equação linear de primeira ordem
y'+p(t)\,y=g(t)
em quatro etapas:
– (a) resolver o caso homogêneo ( g(t)=0),
– (b) assumir y=A(t)\exp\!\bigl[-\!\int p(t)\,dt\bigr] e obter a condição para A'(t),
– (c) integrar essa condição para achar A(t) e montar a solução geral,
– (d) aplicar tudo ao PVI
y'-2y=t^2e^{2t},\quad y(0)=1.

Passo 2

Para g(t)=0 a equação fica
y'+p(t)\,y=0.
Separamos variáveis escrevendo
\frac{y'}{y}=-p(t)
e integramos em t:
\int \frac{y'}{y}\,dt=-\int p(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y|=-\int p(t)\,dt + \ln|A|,
onde \ln|A| é constante de integração. Exponenciando, obtemos
y=A\exp\!\Bigl[-\!\int p(t)\,dt\Bigr].

Passo 3

Supondo agora g(t)\not\equiv0 e
y=A(t)\exp\!\Bigl[-\!\int p(t)\,dt\Bigr],
calculamos
y'=A'(t)\,e^{-\!\int p} \;+\; A(t)\,\frac{d}{dt}\bigl[e^{-\!\int p}\bigr].
Mas
\frac{d}{dt}\bigl[e^{-\!\int p}\bigr] =-p(t)\,e^{-\!\int p},
logo
y'=A'(t)\,e^{-\!\int p} -A(t)\,p(t)\,e^{-\!\int p}.
Substituindo em y'+p\,y=g
A'(t)\,e^{-\!\int p} -A\,p\,e^{-\!\int p} \;+\;p\,A\,e^{-\!\int p} = A'(t)\,e^{-\!\int p} = g(t).
Multiplicando por e^{\int p} resulta
A'(t)=g(t)\,e^{\int p(t)\,dt}.

Passo 4

Integramos
A'(t)=g(t)\,e^{\int p(t)\,dt}
para obter
A(t)=\int g(t)\,e^{\int p(t)\,dt}\,dt + C.
Substituindo de volta em
y=A(t)\,e^{-\!\int p(t)\,dt}
concluímos que a solução geral é
y(t) =e^{-\!\int p(t)\,dt} \Bigl[ \int g(t)\,e^{\int p(t)\,dt}\,dt + C \Bigr].

Passo 5

Aplicando ao PVI
y'-2y=t^2e^{2t},\quad y(0)=1,
identificamos p(t)=-2 e g(t)=t^2e^{2t}. Então
\int p(t)\,dt=\int(-2)\,dt=-2t, \quad e^{\int p\,dt}=e^{-2t}.
A condição para A é
A'(t) =g(t)\,e^{\int p\,dt} =t^2e^{2t}\,e^{-2t} =t^2.
Integrando,
A(t)=\int t^2\,dt = \tfrac{t^3}{3}+C.
Logo
y(t) =\Bigl(\tfrac{t^3}{3}+C\Bigr)e^{2t}.
Impondo y(0)=1
y(0)=(0+ C)e^{0}=C=1.
Portanto a solução do PVI é
y(t)=\Bigl(\tfrac{t^3}{3}+1\Bigr)e^{2t}.

Resposta

A solução geral é
y(t) =e^{-\!\int p(t)\,dt} \Bigl[ \int g(t)\,e^{\int p(t)\,dt}\,dt + C \Bigr].
Para o PVI dado,
y(t)=\Bigl(\tfrac{t^3}{3}+1\Bigr)e^{2t}.

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