Considere o seguinte método de resolução da equação diferencial linear de primeira ordem geral
a) Se
para todo
, mostre que a solução é
em que
é uma constante.
b) Se
não é identicamente nula, suponha que a solução da equação (4) é da forma
em que
agora é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial por essa expressão, mostre que
deve satisfazer a seguinte condição
c) Encontre
da equação (7) e, em seguida, substitua
na equação (6) por esta solução, determinando, dessa forma,
.
d) Use o método anterior para encontrar a solução do PVI
Obs: O método apresentado acima é conhecido como o método da variação dos parâmetros.
b) Se
d) Use o método anterior para encontrar a solução do PVI
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver o método da variação de parâmetros na equação linear de primeira ordem
em quatro etapas:
– (a) resolver o caso homogêneo ( ),
– (b) assumir e obter a condição para
,
– (c) integrar essa condição para achar e montar a solução geral,
– (d) aplicar tudo ao PVI
– (a) resolver o caso homogêneo (
– (b) assumir
– (c) integrar essa condição para achar
– (d) aplicar tudo ao PVI
Passo 2
Para
a equação fica
Separamos variáveis escrevendo
e integramos em
:
onde
é constante de integração. Exponenciando, obtemos
Passo 3
Supondo agora
e
calculamos
Mas
logo
Substituindo em
dá
Multiplicando por
resulta
Passo 4
Integramos
para obter
Substituindo de volta em
concluímos que a solução geral é
Passo 5
Aplicando ao PVI
identificamos
e
. Então
A condição para
é
Integrando,
Logo
Impondo
dá
Portanto a solução do PVI é
Resposta
A solução geral é
Para o PVI dado,