Use EDO para resolver os seguintes problemas.
a) Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. Sabendo-se que após 1 hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população em função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique.
b) Um tanque contém inicialmente 100 litros de água e 100 gramas de sal. Então, uma mistura de água e sal na concentração de 5 gramas de sal por litro é bombeada para o tanque
a uma taxa de 4 litros por minuto. Simultaneamente, a solução (bem misturada) é retirada do tanque à mesma taxa.
i) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, em que t é contado a partir do início do processo.
ii) Calcule a concentração limite de sal no tanque quando t \rightarrow+\infty e o tempo necessário para que a concentração atinja metade desse valor.
Passo 1
O enunciado tem duas partes que usam equações diferenciais ordinárias (EDO):
a) crescimento populacional exponencial, onde a taxa de variação é proporcional à população presente;
b) problema de mistura num tanque com entrada e saída de solução à mesma vazão.
Vamos modelar cada caso, resolver a EDO correspondente, aplicar condições iniciais e depois extrair as quantidades pedidas.
Passo 2
Para a parte (a), definimos P(t) como a população no instante t. A hipótese de “taxa proporcional à população” leva à EDO
\frac{dP}{dt} = k\,P(t),
onde k é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Integramos separando variáveis:
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln P = k\,t + C \quad\Longrightarrow\quad P(t) = C_1 e^{k t}.
Na parte (b), seja S(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque de volume constante V=100 L. A vazão de entrada é 4 L/min com concentração 5 g/L, e a saída é a mesma vazão com concentração S(t)/V. Logo a EDO é
a) P(t)=P_0\,2^t; tempo para triplicar t=\displaystyle\frac{\ln3}{\ln2}.
b\,i) S(t)=500-400e^{-0,04t} g e C(t)=5-4e^{-0,04t} g/L.
ii) C(\infty)=5 g/L; tempo para atingir metade disso t\approx11{,}75 min.