Em cada um dos itens abaixo determine g(f(x)) e indique o domínio da função composta.
f(x, y)=x^2-y^2, g(t)=t^2-4t

Passo 1

O enunciado pede para compor as funções
f(x,y)=x2−y2
e
g(t)=(t^2−4)/t
então vamos calcular g(f(x,y)) e indicar o domínio dessa composição.

Passo 2

Para obter g(f(x,y)), basta substituir t por f(x,y) em g(t). Logo:
g(f(x,y))=(,f(x,y),)^2-4f(x,y)=(x^2-y^2)^2-4x^2-y^2

Passo 3

Podemos ainda fatorar o numerador como diferença de quadrados: (x2−y2)2−4=[(x2−y2)−2][(x2−y^2)+2]. Assim:
g(f(x,y))=(x^2-y^2-2)(x^2-y^2+2)x^2-y^2
Não há cancelamento adicional, pois isso exigiria x2−y2=0, o que não está no domínio.

Passo 4

O domínio da função composta são todos os (x,y) tais que f(x,y) esteja no domínio de g. Como g(t) exige t≠0, precisamos de:
x^2-y^2neq0 Longrightarrow x^2neq y^2 Longrightarrow xneqpm y
Logo, Dom(g∘f)={(x,y)∈ℝ^2 | x2≠y2}.

Passo 5

Resposta

g(f(x,y))=( (x2−y2)^2−4 )/( x2−y2 ), com domínio {(x,y)∈ℝ^2 | x2≠y2}.

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