Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}{\infty}(-1){n} \frac{5}{n^{4}-1}

Passo 1

A gente tem a série alternada sumn=2^infty(-1)^n5n^4-1. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação com p-séries para determinar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos bn=5n^4-1. Note que para n>=2 temos bn>0. Além disso, como n^4-1 cresce quando n cresce, a sequência (bn) é monotonicamente decrescente a partir de n=2, e
limntoinftybn=limntoinfty5n^4-1=0

Passo 3

Pelas condições do teste de Leibniz (termo geral positivo, decrescente e tendendo a zero), a série alternada converge.

Passo 4

Agora olhamos a série de termos positivos:
sumn=2^infty5n^4-1

Passo 5

Para comparar, observe que para n>=2 vale n^4-1>tfrac12n^4, logo
0<5n^4-1<5tfrac12n^4=10n^4

Passo 6

Como sum 10/n^4 é uma p-série com p=4>1, ela converge. Pelo teste da comparação, sum 5/(n^4-1) também converge.

Passo 7

Como a série de valor absoluto converge, a série original é absolutamente convergente (e portanto convergente).

Resposta

(a) A série alternada é absolutamente convergente (logo converge). (b) A série de termos positivos também converge.

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