Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}{\infty}(-1){n} \frac{5}{n^{4}-1}
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=2}{\infty}(-1){n} \frac{5}{n^{4}-1}
Passo 1
A gente tem a série alternada
. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação com p-séries para determinar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
. Note que para
temos
. Além disso, como
cresce quando
cresce, a sequência
é monotonicamente decrescente a partir de
, e
Passo 3
Pelas condições do teste de Leibniz (termo geral positivo, decrescente e tendendo a zero), a série alternada converge.
Passo 4
Agora olhamos a série de termos positivos:
Passo 5
Para comparar, observe que para
vale
, logo
Passo 6
Como
é uma p-série com
, ela converge. Pelo teste da comparação,
também converge.
Passo 7
Como a série de valor absoluto converge, a série original é absolutamente convergente (e portanto convergente).
Resposta
(a) A série alternada é absolutamente convergente (logo converge). (b) A série de termos positivos também converge.