Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
4. f(x, y)=x^2 y-2 x y+2 y^2-15 y

Passo 1

Este exercício pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x^2y-2xy+2y^2-15y. O conteúdo principal envolve derivadas parciais para achar os pontos críticos e o uso da matriz Hessiana para classificá-los (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2xy-2y=2y(x-1),
partial fpartial y=x^2-2x+4y-15

Passo 3

Igualamos as derivadas parciais a zero para achar os candidatos a pontos críticos:
  1. 2y(x-1)=0 dá duas possibilidades: y=0 ou x=1.
Se y=0, então
x^2-2x-15=0
Resolvendo, x=5 ou x=-3, dando os pontos (5,0) e (-3,0).
Se x=1, então
1-2+4y-15=0implies4y-16=0implies y=4,
dando o ponto (1,4).

Passo 4

Construímos a matriz Hessiana
H(x,y)= fxx&fxy fyx&fyy = 2y & 2x-2 2x-2 & 4
Para classificar, calculamos D=det H e olhamos o sinal de fxx.

Passo 5

Avaliando em cada ponto:
  • Em (5,0): H=0&88&4, então D=0cdot4-8^2=-64<0. Como D<0, é ponto de sela.
  • Em (-3,0): H=0&-8-8&4, logo D=0cdot4-(-8)^2=-64<0. Também ponto de sela.
  • Em (1,4): H=8&00&4, assim D=8cdot4=32>0 e fxx=8>0. Logo, mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (5,0) e (−3,0), ambos pontos de sela, e (1,4), que é um mínimo local.

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