Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
4.
4.
Passo 1
Este exercício pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo principal envolve derivadas parciais para achar os pontos críticos e o uso da matriz Hessiana para classificá-los (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Igualamos as derivadas parciais a zero para achar os candidatos a pontos críticos:
-
dá duas possibilidades: ou .
Se
, então
Resolvendo,
ou
, dando os pontos
e
.
Se
, então
dando o ponto
.
Passo 4
Construímos a matriz Hessiana
Para classificar, calculamos
e olhamos o sinal de
.
Passo 5
Avaliando em cada ponto:
-
Em
: , então . Como , é ponto de sela. -
Em
: , logo . Também ponto de sela. -
Em
: , assim e . Logo, mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são (5,0) e (−3,0), ambos pontos de sela, e (1,4), que é um mínimo local.