Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1000-n}{n!}

Passo 1

O exercício pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty 1000 - nn!. O conteúdo envolve testes de convergência de séries alternadas e séries de termos positivos, e vamos precisar do teste da razão e das somas conhecidas de séries de fatoriais.

Passo 2

Para ver se a série converge absolutamente, consideramos a série de termos positivos sumn=1^infty gl|1000-nn!gr|. Aplicamos o teste da razão comparando an = |1000-n|n! e an+1 = |1000-(n+1)|(n+1)!:
limn to infty an+1an = limn to infty |1000-(n+1)||1000-n| cdot n!(n+1)! = limn to infty n+1-10001000-n cdot 1n+1 = 0

Passo 3

Como o limite é menor que 1, a série de módulos converge. Logo a série original é absolutamente convergente. Uma série absolutamente convergente também é convergente (não condicionalmente, mas sim absolutamente).
Para (b), a própria série de termos positivos (isto é, sum |(1000-n)/n!|) já foi mostrada convergente pelo teste da razão. Portanto essa série de termos positivos converge.

Resposta

(a) A série é absolutamente convergente (logo converge; não é apenas condicional). (b) A série de termos positivos sumn=1^infty l|tfrac1000-nn!r| converge pelo teste da razão.

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