Em cada um dos itens abaixo determine g(f(x)) e indique o domínio da função composta.
f(x, y)=x+tg y, g(z)=z^2+1

Passo 1

O enunciado pede para compor as funções
f(x,y)=x+\operatorname{tg}y e g(z)=z^2+1, encontrando g(f(x,y)) e indicando o domínio de g∘f.
Vamos usar teoria de composição de funções e lembrar que tgy só existe quando cos y≠0.

Passo 2

Para achar g(f(x,y)), basta substituir z=f(x,y) em g(z):
g(f(x,y))=l(f(x,y)r)^2+1=l(x+tgyr)^2+1

Passo 3

Agora o domínio de g∘f é o conjunto de todos os pares (x,y) em que f está definida e g pode avaliar esse valor. Como g(z)=z^2+1 está definida em todo R, o único cuidado é com f(x,y)=x+\operatorname{tg}y. Assim, precisamos de cos y≠0.

Passo 4

Portanto o domínio de g∘f é
(x,y)inR^2:;yneqtfracpi2+kpi,;kinZ

Resposta

g(f(x,y))=\bigl(x+\operatorname{tg}y\bigr)^2+1, com domínio (x,y)inR^2:yneqtfracpi2+kpi,;kinZ.

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