Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
6.
6.
Passo 1
Este exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e ver se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo é de cálculo multivariável: vamos usar derivadas parciais para achar onde o gradiente some zero e depois aplicar o teste da segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de
. Elas são dadas por
e
:
A ideia é achar onde ambas se anulam.
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
e
e resolvemos o sistema. De
vem:
que dá os casos
-
-
Devem:
que dá os casos
-
-
Analisando combinações, obtemos os quatro pontos críticos:
.
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas para montar o Hessiano. Temos:
O determinante do Hessiano é
. Pelo teste da segunda derivada:
- Se
, ponto de sela. - Se
e , mínimo local. - Se
e , máximo local.
Passo 5
Vamos avaliar
e
em cada ponto:
- Em
: então ⇒ sela. - Em
: então ⇒ sela. - Em
: então ⇒ sela. - Em
:
então
Como, é mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0), (-2,0), (0,4) e
. Os três primeiros são pontos de sela e
é um mínimo local.