Nos exercícios a seguir encontre os pontos críticos de cada função e determine se ele é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela.
6. f(x, y)=4 x y+2 x^2 y-x y^2

Passo 1

Este exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=4xy+2x^2y-xy^2 e ver se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela. O conteúdo é de cálculo multivariável: vamos usar derivadas parciais para achar onde o gradiente some zero e depois aplicar o teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de f. Elas são dadas por fx=partial f/partial x e fy=partial f/partial y:
fx=4y+4xy-y^2
fy=4x+2x^2-2xy
A ideia é achar onde ambas se anulam.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos fx=0 e fy=0 e resolvemos o sistema. De fx=0 vem:
y(4+4x-y)=0
que dá os casos
  • y=0
  • y=4+4x
    De fy=0 vem:
2x(x+2-y)=0
que dá os casos
  • x=0
  • y=x+2
    Analisando combinações, obtemos os quatro pontos críticos:
    (0,0),;(-2,0),;(0,4),;l(-tfrac23,tfrac43r).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas para montar o Hessiano. Temos:
fxx=4y,
fyy=-2x,
fxy=4+4x-2y
O determinante do Hessiano é D=fxxfyy-(fxy)^2. Pelo teste da segunda derivada:
  • Se D<0, ponto de sela.
  • Se D>0 e fxx>0, mínimo local.
  • Se D>0 e fxx<0, máximo local.

Passo 5

Vamos avaliar fxx,fyy,fxy e D em cada ponto:
  • Em (0,0): fxx=0, fyy=0, fxy=4 então D=0cdot0-4^2=-16<0 ⇒ sela.
  • Em (-2,0): fxx=0, fyy=4, fxy=-4 então D=-16<0 ⇒ sela.
  • Em (0,4): fxx=16, fyy=0, fxy=-4 então D=-16<0 ⇒ sela.
  • Em (- frac23, frac43):
    fxx= frac163, fyy= frac43, fxy=- frac43 então D=163cdot43-l(-43r)^2=649-169=489>0
    Como fxx=tfrac163>0, é mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), (-2,0), (0,4) e (-2/3,4/3). Os três primeiros são pontos de sela e (-2/3,4/3) é um mínimo local.

Exercícios relacionados