Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=lnl(tfrac1x+tfrac1x^2r). O conteúdo é derivada de função composta, onde vamos usar a regra de derivação do logaritmo e a derivada da soma de potências de x.

Passo 2

Primeiro, observe que dentro do logaritmo temos tfrac1x+tfrac1x^2. Podemos reescrever isso como soma de potências: tfrac1x=x^-1 e tfrac1x^2=x^-2. Então definimos g(x)=x^-1+x^-2.

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada do logaritmo: se f(x)=ln(g(x)), então f'(x)=dfracg'(x)g(x).

Passo 4

Calculamos g'(x). Derivando termo a termo: a derivada de x^-1 é -1,x^-2 e a de x^-2 é -2,x^-3. Logo,
g'(x)=-x^-2-2x^-3

Passo 5

Agora substituímos na regra do logaritmo:
f'(x)=-x^-2-2x^-3x^-1+x^-2

Passo 6

Para simplificar, multiplica numerador e denominador por x^3:
f'(x)=-x-2x^2+x = -x+2x(x+1)

Resposta

-\frac{x+2}{x(x+1)}

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