Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{3 n+1}{2^{n}}
Passo 1
Vamos resumir o que temos: a série é alternante . O que pedem é (a) ver se ela converge, diverge ou converge condicionalmente e (b) ver se a versão de termos positivos converge ou diverge.
Passo 2
Para saber se a série alternante converge de forma absoluta, consideramos a soma dos valores absolutos, ou seja
Passo 3
Aplicamos o teste da razão na série de termos positivos. Definindo an=3n+12^n, calculamos
Como a série de valores absolutos converge, concluímos que a série alternante original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (e não há apenas convergência condicional).
Passo 5
Para responder (b), basta notar que já mostramos que sumn=1^infty3n+12^n
converge pelo teste da razão.
Resposta
a) A série alternante converge absolutamente (logo converge). b) A série de termos positivos sumn=1^infty3n+12^n converge.