Nos exercícios abaixo determine:
(a) se as séries que contém termos positivos ou negativos são convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(b) se as séries de termos positivos são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{3 n+1}{2^{n}}

Passo 1

Vamos resumir o que temos: a série é alternante
sumn=1^infty(-1)^n-13n+12^n. O que pedem é (a) ver se ela converge, diverge ou converge condicionalmente e (b) ver se a versão de termos positivos sumn=1^infty3n+12^n converge ou diverge.

Passo 2

Para saber se a série alternante converge de forma absoluta, consideramos a soma dos valores absolutos, ou seja
sumn=1^infty|(-1)^n-13n+12^n|= sumn=1^infty3n+12^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão na série de termos positivos. Definindo an=3n+12^n, calculamos
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty(3(n+1)+1)/2^n+1(3n+1)/2^n =limntoinfty3n+43n+1cdot12 =12
Como L<1, essa série positiva converge.

Passo 4

Como a série de valores absolutos converge, concluímos que a série alternante original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (e não há apenas convergência condicional).

Passo 5

Para responder (b), basta notar que já mostramos que
sumn=1^infty3n+12^n
converge pelo teste da razão.

Resposta

a) A série alternante converge absolutamente (logo converge). b) A série de termos positivos sumn=1^infty3n+12^n converge.

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