Em cada um dos itens abaixo, determine
lll I) nabla f(x, y) ou nabla f(x, y, z) & II) nabla f(P) & III) Du f(P)
d) f(x, y, z)=x y+y z+x z, P=(1,-1,3), u : vetor unitário na direção de v=(-8,0,15).

Passo 1

Então, temos uma função de três variáveis e precisamos calcular o gradiente dessa função, o gradiente no ponto e a derivada direcional nesse ponto na direção de um vetor específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável como gradiente e derivada direcional, além de trabalhar com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função nabla f(x, y, z) = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é um vetor que indica a direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
partial fpartial x = y + z
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial y = x + z
partial fpartial z = y + x
nabla f(x, y, z) = (y + z, x + z, y + x)
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto nabla f(1, -1, 3) = (-1 + 3, 1 + 3, -1 + 1) = (2, 4, 0) . Substituindo , e na expressão do gradiente:

Passo 4

Para encontrar a derivada direcional u = v||v|| , precisamos primeiro determinar o vetor unitário ||v|| = raiz(-8)^2 + 0^2 + 15^2 = raiz64 + 0 + 225 = raiz289 = 17 na direção de u = ( -817, 0, 1517 ) .
A fórmula para o vetor unitário é:
Du f(P) = nabla f(P) cdot u = (2, 4, 0) cdot ( -817, 0, 1517 )
Calculando a norma de Du f(P) = 2 cdot ( -817 ) + 4 cdot 0 + 0 cdot ( 1517 ) = -1617 + 0 + 0 = -1617 :
Então,
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional é igual a .

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