Em cada um dos itens abaixo, determine
d)
,
: vetor unitário na direção de
.
Passo 1
Então, temos uma função de três variáveis
e precisamos calcular o gradiente dessa função, o gradiente no ponto
e a derivada direcional nesse ponto na direção de um vetor específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável como gradiente e derivada direcional, além de trabalhar com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que indica a direção de maior crescimento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Passo 4
Para encontrar a derivada direcional
, precisamos primeiro determinar o vetor unitário
na direção de
.
A fórmula para o vetor unitário é:
Calculando a norma de
:
Então,
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional
é igual a
.