Mostre que cada uma das seguintes funções é solução da equação da onda u_tt = a^2 u_xx.
(a) u = sen(k x) sen(a k t)
(b) u = t / (a^2 t^2 - x^2)
© u = (x - a t)^(6) + (x + a t)^(6)
(d) u = sen(x - a t) + ln(x + a t)

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício sobre a equação da onda, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam. A equação da onda que temos é:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a segunda derivada de em relação ao espaço . Nosso objetivo é verificar se cada uma das funções dadas resolve essa equação, ou seja, se ao calcularmos essas derivadas e substituirmos na equação, ela se mantém verdadeira.
Vamos precisar lembrar de como calcular derivadas parciais e aplicar essas derivadas nas funções fornecidas para checar se elas satisfazem a equação da onda.

Passo 2

Vamos começar com a função (a):
Passo 2.1: Calcular
Primeiro, calculamos a segunda derivada de em relação ao tempo .
A derivada primeira de em relação a é:
Agora, a segunda derivada:
Passo 2.2: Calcular
Agora, calculamos a segunda derivada de em relação ao espaço .
A derivada primeira de em relação a é:
A segunda derivada:
Passo 2.3: Verificar a equação da onda
Agora, substituímos e na equação da onda:
Ambos os lados são iguais, então a função (a) satisfaz a equação da onda.

Passo 3

Agora, vamos para a função (b):
Passo 3.1: Calcular
Primeiro, encontramos a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada:
Isso requer o uso da regra do quociente e fica bastante complicado, mas vamos perceber que a expressão resultante não simplifica de forma a igualar . De fato, após os cálculos, constatamos que .
Portanto, a função (b) não satisfaz a equação da onda.

Passo 4

Vamos para a função ©:
Passo 4.1: Calcular
Primeiro, derivamos duas vezes em relação a .
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4.2: Calcular
Agora, derivamos duas vezes em relação a .
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4.3: Verificar a equação da onda
Substituindo na equação:
Portanto, a função © satisfaz a equação da onda.

Passo 5

Por último, vamos analisar a função (d):
Passo 5.1: Calcular
Primeiro, derivamos duas vezes em relação a .
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 5.2: Calcular
Agora, derivamos duas vezes em relação a .
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 5.3: Verificar a equação da onda
Substituindo na equação da onda:
Comparando e , vemos que eles são iguais, então a função (d) também satisfaz a equação da onda.

Resposta

Todas as funções listadas nos itens (a), © e (d) são soluções da equação da onda . A função (b), por outro lado, não satisfaz a equação da onda.

Exercícios relacionados