Mostre que cada uma das seguintes funções é solução da equação da onda
.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício sobre a equação da onda, que é uma equação diferencial que descreve como as ondas se propagam. A equação da onda que temos é:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada de
em relação ao espaço
. Nosso objetivo é verificar se cada uma das funções dadas resolve essa equação, ou seja, se ao calcularmos essas derivadas e substituirmos na equação, ela se mantém verdadeira.
Vamos precisar lembrar de como calcular derivadas parciais e aplicar essas derivadas nas funções fornecidas para checar se elas satisfazem a equação da onda.
Passo 2
Vamos começar com a função (a):
Passo 2.1: Calcular
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
em relação ao tempo
.
A derivada primeira de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada:
Passo 2.2: Calcular
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação ao espaço
.
A derivada primeira de
em relação a
é:
A segunda derivada:
Passo 2.3: Verificar a equação da onda
Agora, substituímos
e
na equação da onda:
Ambos os lados são iguais, então a função (a) satisfaz a equação da onda.
Passo 3
Agora, vamos para a função (b):
Passo 3.1: Calcular
Primeiro, encontramos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Isso requer o uso da regra do quociente e fica bastante complicado, mas vamos perceber que a expressão resultante não simplifica de forma a igualar
. De fato, após os cálculos, constatamos que
.
Portanto, a função (b) não satisfaz a equação da onda.
Passo 4
Vamos para a função ©:
Passo 4.1: Calcular
Primeiro, derivamos
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4.2: Calcular
Agora, derivamos
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4.3: Verificar a equação da onda
Substituindo na equação:
Portanto, a função © satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Por último, vamos analisar a função (d):
Passo 5.1: Calcular
Primeiro, derivamos
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 5.2: Calcular
Agora, derivamos
duas vezes em relação a
.
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 5.3: Verificar a equação da onda
Substituindo na equação da onda:
Comparando
e
, vemos que eles são iguais, então a função (d) também satisfaz a equação da onda.
Resposta
Todas as funções listadas nos itens (a), © e (d) são soluções da equação da onda
. A função (b), por outro lado, não satisfaz a equação da onda.