Determine os pontos da circunferência , em que a função dada por tem um máximo e um mínimo absolutos. Quais são os extremos de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar os pontos na circunferência definida por onde a função atinge seus valores máximos e mínimos absolutos. Estamos trabalhando com cálculo de otimização, onde queremos maximizar ou minimizar uma função sujeita a uma restrição (neste caso, a circunferência). Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a restrição que temos: . Isso representa uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Queremos encontrar os pontos nessa circunferência onde a função é máxima ou mínima.
Passo 3
Uma forma de resolver esse tipo de problema é usar a técnica de substituição. Podemos expressar uma das variáveis em termos da outra usando a equação da circunferência. Vamos resolver para :
Passo 4
Agora, substituímos na função :
Agora, nossa função depende apenas de , o que facilita encontrar seus extremos.
Passo 5
Para encontrar os extremos de , derivamos a função em relação a e igualamos a derivada a zero:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo para :
Passo 7
Agora, encontramos os valores de correspondentes usando :
Então, os pontos são:
Passo 8
Calculando o valor de nesses pontos:
Passo 9
Além disso, se considerarmos os pontos onde ou , veremos que , o que confirma que é realmente o valor máximo e mínimo absoluto dentro da circunferência.
Resposta
Os extremos absolutos da função na circunferência são: