Determine os pontos da circunferência x^2 + y^2 = 1, em que a função dada por f(x, y) = x * y tem um máximo e um mínimo absolutos. Quais são os extremos de f ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar os pontos na circunferência definida por onde a função atinge seus valores máximos e mínimos absolutos. Estamos trabalhando com cálculo de otimização, onde queremos maximizar ou minimizar uma função sujeita a uma restrição (neste caso, a circunferência). Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a restrição que temos: . Isso representa uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Queremos encontrar os pontos nessa circunferência onde a função é máxima ou mínima.

Passo 3

Uma forma de resolver esse tipo de problema é usar a técnica de substituição. Podemos expressar uma das variáveis em termos da outra usando a equação da circunferência. Vamos resolver para :

Passo 4

Agora, substituímos na função :
Agora, nossa função depende apenas de , o que facilita encontrar seus extremos.

Passo 5

Para encontrar os extremos de , derivamos a função em relação a e igualamos a derivada a zero:
Simplificando:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora, encontramos os valores de correspondentes usando :
Então, os pontos são:

Passo 8

Calculando o valor de nesses pontos:

Passo 9

Além disso, se considerarmos os pontos onde ou , veremos que , o que confirma que é realmente o valor máximo e mínimo absoluto dentro da circunferência.

Resposta

Os extremos absolutos da função na circunferência são:
  • Máximo absoluto: no ponto
  • Mínimo absoluto: no ponto e

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