Existe alguma direção
na qual a taxa de variação de
em
é igual a 2018? Justifique.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função
e um ponto específico
. A pergunta é: será que existe alguma direção
onde a taxa de variação dessa função em
é igual a 2018? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de máximo aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
. Então, vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Passo 3
A taxa de variação da função na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente com
:
Sabemos que o produto escalar atinge seu valor máximo quando
está na mesma direção do gradiente, e esse valor máximo é a norma do gradiente:
Passo 4
Agora, vamos comparar o valor máximo da taxa de variação com 2018. Vimos que o máximo que a taxa de variação pode alcançar é aproximadamente 13,6, que é muito menor que 2018.
Resposta
Não, não existe nenhuma direção
na qual a taxa de variação de
em
seja igual a 2018, pois o valor máximo possível da taxa de variação é aproximadamente 13,6, bem menor que 2018.