Existe alguma direção u na qual a taxa de variação de f(x, y) = x^2 - 3xy + 4y^2 em P = (1, 2) é igual a 2018? Justifique.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função e um ponto específico . A pergunta é: será que existe alguma direção onde a taxa de variação dessa função em é igual a 2018? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de máximo aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Então, vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto :

Passo 3

A taxa de variação da função na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar do gradiente com :
Sabemos que o produto escalar atinge seu valor máximo quando está na mesma direção do gradiente, e esse valor máximo é a norma do gradiente:
á

Passo 4

Agora, vamos comparar o valor máximo da taxa de variação com 2018. Vimos que o máximo que a taxa de variação pode alcançar é aproximadamente 13,6, que é muito menor que 2018.

Resposta

Não, não existe nenhuma direção na qual a taxa de variação de em seja igual a 2018, pois o valor máximo possível da taxa de variação é aproximadamente 13,6, bem menor que 2018.

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