Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y) = 4x + 6y - x^2 - y^2, D = {(x, y) | 0 <= x <= 4, 0 <= y <= 5}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no conjunto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos de funções em conjuntos fechados e limitados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro de . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é , que está dentro do conjunto .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a função nesse ponto crítico:

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores de nas fronteiras do conjunto . O domínio é um retângulo, então temos quatro bordas para analisar:
  1. , com
  2. , com
  3. , com
  4. , com
Vamos analisar cada uma dessas bordas.

Passo 5

Borda 1: ,
A função se torna:
Para encontrar os extremos dessa função em , derivamos em relação a :
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é , e:
Também avaliamos nos extremos do intervalo:
Então, nessa borda, o máximo é e o mínimo é .

Passo 6

Borda 2: ,
A função se torna:
Interessante, é a mesma expressão da borda anterior. Assim, o ponto crítico é :
E nos extremos:
Então, novamente, o máximo é e o mínimo é .

Passo 7

Borda 3: ,
A função se torna:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então:
E nos extremos:
Logo, nessa borda, o máximo é e o mínimo é .

Passo 8

Borda 4: ,
A função se torna:
Derivando em relação a :
Igualando a zero:
Então:
Nos extremos:
Então, nessa borda, o máximo é e o mínimo é .

Passo 9

Agora, vamos reunir todos os valores máximos e mínimos encontrados:
  • Ponto crítico interior:
  • Borda 1: máximo , mínimo
  • Borda 2: máximo , mínimo
  • Borda 3: máximo , mínimo
  • Borda 4: máximo , mínimo
Comparando todos os valores, o máximo absoluto é no ponto , e o mínimo absoluto é , que ocorre nos pontos e .

Resposta

O valor máximo absoluto de no conjunto é , e o valor mínimo absoluto é .

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