Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a busca por extremos de funções em conjuntos fechados e limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro de
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é
, que está dentro do conjunto
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores de
nas fronteiras do conjunto
. O domínio
é um retângulo, então temos quatro bordas para analisar:
-
, com -
, com -
, com -
, com
Vamos analisar cada uma dessas bordas.
Passo 5
Borda 1:
,
A função se torna:
Para encontrar os extremos dessa função em
, derivamos em relação a
:
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é
, e:
Também avaliamos nos extremos do intervalo:
Então, nessa borda, o máximo é
e o mínimo é
.
Passo 6
Borda 2:
,
A função se torna:
Interessante, é a mesma expressão da borda anterior. Assim, o ponto crítico é
:
E nos extremos:
Então, novamente, o máximo é
e o mínimo é
.
Passo 7
Borda 3:
,
A função se torna:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então:
E nos extremos:
Logo, nessa borda, o máximo é
e o mínimo é
.
Passo 8
Borda 4:
,
A função se torna:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero:
Então:
Nos extremos:
Então, nessa borda, o máximo é
e o mínimo é
.
Passo 9
Agora, vamos reunir todos os valores máximos e mínimos encontrados:
- Ponto crítico interior:
- Borda 1: máximo
, mínimo - Borda 2: máximo
, mínimo - Borda 3: máximo
, mínimo - Borda 4: máximo
, mínimo
Comparando todos os valores, o máximo absoluto é
no ponto
, e o mínimo absoluto é
, que ocorre nos pontos
e
.
Resposta
O valor máximo absoluto de
no conjunto
é
, e o valor mínimo absoluto é
.