Em cada um dos itens abaixo, determine a matriz N, linha reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B, e uma matriz invertível M, de ordem 3 , tal que N=M B.
B=(rrrr1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & -3 1 & 2 & -1 & 0).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & -3 1 & 2 & -1 & 0 ,
pede a sua forma escada reduzida por linhas N e uma matriz invertível M de ordem 3 tal que
N = M,B
O conteúdo é redução de linhas e representação via matrizes elementares.

Passo 2

Eliminamos a coluna 1 abaixo do pivô ,(1,1):
R2 R2-2R1, R3 R3-R1
resultando em
B1 = 1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & -5 0 & 1 & -2 & -1

Passo 3

Escalamos o pivô da segunda linha e eliminamos na coluna 2:
R2 -1cdot R2 Longrightarrow 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 5 0 & 1 & -2 & -1 ,
depois
R1 R1-R2, R3 R3-R2
para obter
B2 = 1 & 0 & 0 & -4 0 & 1 & 1 & 5 0 & 0 & -3 & -6

Passo 4

Escalamos o pivô da terceira linha e eliminamos acima na coluna 3:
R3 -tfrac13,R3 Longrightarrow 1 & 0 & 0 & -4 0 & 1 & 1 & 5 0 & 0 & 1 & 2 ,
depois
R2 R2-R3
ficando finalmente
N = 1 & 0 & 0 & -4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 ,
que é a LRFE de B.

Passo 5

Cada operação corresponde a uma matriz elementar Ei, e
M = E6,E5,E4,E3,E2,E1
é invertível e satisfaz N=M,B. Calculando o produto, obtemos
M = -1 & 1 & 0 1 & -tfrac23 & tfrac13 1 & -tfrac13 & -tfrac13

Resposta

N= 1 & 0 & 0 & -4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 ,
\quad
M= -1 & 1 & 0 1 & -tfrac23 & tfrac13 1 & -tfrac13 & -tfrac13

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