V=R^{2}
\mathrm{W} 1=\{(X, 0) ; x \in R\}=\left\{(x, y) \in R^{2}, y=0\right\}
\mathrm{W} 2=\{(0, y) ; y \in R\}=\left\{(x, y) \in R^{2}, x=0\right\}
a) Calcule o espaço vetorial de W1 e W2
b) Calcule a W1 \cap W2

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 e dois subespaços \displaystyle W_1=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} \displaystyle W_2=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}
Pede-se (a) o somatório W_1+W_2 e (b) a interseção W_1\cap W_2. Vamos usar conceitos de subespaço, soma direta e interseção.

Passo 2

Mostramos que W_1 é subespaço de \mathbb{R}^2. De fato, ele contém o vetor nulo (0,0), e se (x_1,0),(x_2,0)\in W_1 então
(x_1,0)+(x_2,0)=(x_1+x_2,0)\in W_1,
e para todo escalar \lambda
\lambda\,(x,0)=(\lambda x,0)\in W_1.
Além disso, fica claro que
W_1=\operatorname{span}\{(1,0)\}.

Passo 3

Analogamente, W_2 é subespaço de \mathbb{R}^2. Ele contém (0,0), é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e
W_2=\operatorname{span}\{(0,1)\}.

Passo 4

Pela definição de soma de subespaços,
W_1+W_2=\{w_1+w_2\mid w_1\in W_1,\;w_2\in W_2\}.
Tomando w_1=(x,0) e w_2=(0,y) obtemos
w_1+w_2=(x,y),
que é um vetor arbitrário de \mathbb{R}^2. Logo
W_1+W_2=\mathbb{R}^2
e uma base natural é \{(1,0),(0,1)\}.

Passo 5

Para achar a interseção, resolvemos
(x,0)=(0,y).
Igualando componentes, vem x=0 e y=0. Portanto o único vetor comum é o nulo, isto é
W_1\cap W_2=\{(0,0)\}.

Resposta

(a) W_1+W_2=\mathbb{R}^2=\operatorname{span}\{(1,0),(0,1)\}.
(b) W_1\cap W_2=\{(0,0)\}.

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