Transforme as matrizes abaixo em matrizes unidades:
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 5 \\[6pt] 1 & 2\end{pmatrix}
e pede para transformá-la na matriz unidade por operações de Gauss–Jordan, o que nos dará também A^{-1}.]

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [A\mid I] e trocamos \text{R}_1 com \text{R}_2 para ter pivô 1 na primeira linha:
[A\mid I] = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\text{swap }\text{R}_1\leftrightarrow \text{R}_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\[4pt] 3 & 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Eliminamos o 3 em posição (2,1) usando
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\,\text{R}_1 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Normalizamos o pivô da segunda linha e eliminamos o 2 acima dele:
primeiro \text{R}_2 \leftarrow -\,\text{R}_2,
depois \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 2\,\text{R}_2.
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -5 \\[4pt] 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},
que já é [I\mid A^{-1}].]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\[6pt] -1 & 3 \end{pmatrix}.]

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