Use o Teste da Razão para estudar a convergência da série abaixo.
sum an onde a1=2 e an+1=sen(n)+1n an, para todo n in N

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^inftyan, cujos termos são definidos recursivamente por a1=2 e an+1=sin(n)+1n,an. O conteúdo é o Teste da Razão, e vamos precisar da definição do quociente |an+1/an| e do seu limite (ou limite superior) quando ntoinfty.

Passo 2

Pelo Teste da Razão, definimos L=limsupntoinfty|an+1an| Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular o quociente dos termos:
|an+1an|=|sin(n)+1n|

Passo 4

Observamos que sin(n) oscila entre -1 e 1, logo sin(n)+1 varia em [0,2]. Assim,
0<=|sin(n)+1n|<=2n

Passo 5

Como 2nto0 quando ntoinfty, segue que
L=limsupntoinfty|an+1an|=0

Passo 6

Como L=0<1, o Teste da Razão garante que a série sum an converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Razão, pois o limite superior da razão entre termos é zero (<1).

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