Use o Teste da Razão para estudar a convergência da série abaixo. onde e , para todo
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série , cujos termos são definidos recursivamente por e . O conteúdo é o Teste da Razão, e vamos precisar da definição do quociente e do seu limite (ou limite superior) quando .
Passo 2
Pelo Teste da Razão, definimos Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular o quociente dos termos:
|an+1an|=|sin(n)+1n|
Passo 4
Observamos que sin(n) oscila entre -1 e 1, logo sin(n)+1 varia em [0,2]. Assim,
0<=|sin(n)+1n|<=2n
Passo 5
Como 2nto0 quando ntoinfty, segue que
L=limsupntoinfty|an+1an|=0
Passo 6
Como L=0<1, o Teste da Razão garante que a série sum an converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente pelo Teste da Razão, pois o limite superior da razão entre termos é zero (<1).