Em cada um dos itens abaixo diga se a função é injetora, sobrejetora, bijetora:
e) f:(-pi2, pi2) R, dada por f(x)=tg(x), para x in(-pi2, pi2)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função
f colon l(-tfracpi2,tfracpi2r)to R, f(x)=tan(x)
como injetora, sobrejetora ou bijetora. O conteúdo é classificação de funções usando monotonicidade e análise de imagem pelo comportamento nos extremos do domínio.

Passo 2

Para verificar injetividade, calculamos a derivada e vemos que ela é sempre positiva:
f'(x)=sec^2(x)>0 para todo xinl(-tfracpi2,tfracpi2r)
Como f' não muda de sinal e é estritamente positiva, f é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 3

Para verificar sobrejetividade, observamos o comportamento de tan(x) nos extremos do intervalo:
limxto(-pi/2)^+tan(x)=-infty, limxto(pi/2)^-tan(x)=+infty
Como tan(x) é contínua em l(-tfracpi2,tfracpi2r) e varia de -infty a +infty, sua imagem é todo R. Logo, f é sobrejetora.

Passo 4

Concluindo, f é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, bijetora.

Resposta

A função é bijetora.

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