Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da raiz é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+n-1}\right)^{2 n}.

Passo 1

Estamos estudando a série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n-1}\Bigr)^{2n}
e queremos ver se o teste da raiz (teste de Cauchy) é aplicável para decidir convergência ou divergência. Pelo teste, basta calcular
\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|},
onde a_n=\bigl(\tfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+n-1}\bigr)^{2n}.

Passo 2

Vamos escrever a raiz n-ésima de \lvert a_n\rvert. Como a_n>0,
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =\sqrt[n]{\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n-1}\Bigr)^{2n}} =\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n-1}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Agora examinamos o limite da fração ao quadrado quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n-1}\Bigr)^{2} =\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}(1+1/n^{2})}{n^{2}(2+1/n-1/n^{2})}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{2} =\frac{1}{4}.

Passo 4

Como L=\tfrac14<1, o teste da raiz assegura que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

O teste da raiz é aplicável e garante a convergência da série.

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