Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da raiz é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^{n+1}}{n^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o teste da raiz é aplicável à série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^{n+1}}{n^{n}}
e, em caso afirmativo, usar esse teste para decidir convergência ou divergência. Vamos lembrar que o teste da raiz diz: se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}
satisfaz L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \frac{1+(-1)^{n+1}}{n^n}
e estudamos o valor de |a_n|. Note que para n par temos 1+(-1)^{n+1}=0 e, para n ímpar, 1+(-1)^{n+1}=2. Logo
|a_n| = \begin{cases} 0, & n \text{ par},\\\ \dfrac{2}{n^n}, & n \text{ ímpar}. \end{cases}í
Em seguida calculamos
\sqrt[n]{|a_n|} = \begin{cases} 0^{1/n}=0, & n \text{ par},\\[6pt] \displaystyle \frac{\sqrt[n]{2}}{n}, & n \text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 3

Agora avaliamos o \limsup quando n\to\infty. Para n ímpar temos
\lim_{n\to\infty,\;n\text{ ímpar}} \frac{\sqrt[n]{2}}{n} = \frac{1}{\infty}=0,í
e para n par a raiz é já zero. Assim
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 0 < 1.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

O teste da raiz é aplicável e, como o seu limite L=0<1, garante a convergência da série.

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