Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da raiz é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{2n+1}. O conteúdo é o teste da raiz, que se baseia no cálculo do valor
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui a_n = \frac{2^n}{2n+1}. Logo,
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{2^n}{2n+1}} = \frac{\sqrt[n]{2^n}}{\sqrt[n]{2n+1}} = \frac{2}{\sqrt[n]{2n+1}}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n+1} = 1,
pois a raiz de grau n de um polinômio em n tende a 1. Portanto,
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt[n]{2n+1}} = 2.

Passo 3

Como L=2>1, o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

O teste da raiz é aplicável e conclui-se que a série diverge.

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