Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da raiz é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100}}{100^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{100}}{100^{n}}.
No teste da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}},
onde a_{n} = \frac{n^{100}}{100^{n}}. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculando a raiz n-ésima de a_{n}:
\sqrt[n]{a_{n}} = \sqrt[n]{\frac{n^{100}}{100^{n}}} = \frac{\bigl(n^{100}\bigr)^{1/n}}{100} = \frac{n^{100/n}}{100}.
Agora observe que
\lim_{n\to\infty}n^{100/n} =\lim_{n\to\infty}e^{\frac{100\ln n}{n}} =e^0 =1.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} =\frac{1}{100}<1,
e o teste da raiz garante a convergência absoluta da série.

Resposta

O teste da raiz é aplicável e mostra que a série converge.

Exercícios relacionados