Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da raiz é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o teste da raiz, se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
converge ou diverge. O teste da raiz analisa o valor
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|},
onde a_{n}=(1+1/n)^{n^{2}}. Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Vamos calcular
\sqrt[n]{a_{n}} =\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}} =\biggl[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\biggr]^{n/n} =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =e,
pois sabemos que \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n}=e\approx2{,}718>1.

Passo 4

Como L=e>1, pelo teste da raiz a série diverge.

Resposta

O teste da raiz é aplicável e mostra que a série diverge.

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