Em cada um dos itens abaixo, encontrar a expressão da função f^{\prime}: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, onde f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, é dada por
f(x)=\int_{0}^{x^{3}} \cos ^{\frac{1}{3}}(t) d t

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\int_{0}^{x^{3}}\cos^{\frac{1}{3}}(t)\,dt
e pede sua derivada f'(x). O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limite superior dependente de x combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
g(x)=x^{3} \quad\text{e}\quad h(t)=\cos^{\frac{1}{3}}(t).
Então
f(x)=\int_{0}^{g(x)}h(t)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\frac{d}{dx}\!\biggl(\int_{0}^{g(x)}h(t)\,dt\biggr) =h\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui g'(x)=3x^{2} e h(g(x))=\cos^{\frac{1}{3}}(x^{3}).

Resposta

f'(x)=3x^{2}\,\cos^{\frac{1}{3}}(x^{3}).

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