Em cada um dos itens abaixo, encontrar a expressão da função f^{\prime}: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, onde f: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, é dada por
f(x)=\int_{x}^{0} \sqrt{u^{2}+4 u} d u

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{x}^{0}\sqrt{u^{2}+4u}\,du
e pede f^{\prime}. O conteúdo de matéria é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais com limite variável.

Passo 2

Identificamos o integrando \sqrt{u^{2}+4u}. Para que isso faça sentido em \mathbb{R}, precisamos de \,u^{2}+4u\ge0, ou seja
u(u+4)\ge0\quad\Longrightarrow\quad u\le-4\\ \text{ou}\\ u\ge0.
Então o domínio natural é
A = (-\infty,-4]\cup[0,\infty),
onde \sqrt{u^{2}+4u} é contínua.

Passo 3

Como \sqrt{u^{2}+4u} é contínua em cada componente de A, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo que diz:
\frac{d}{dx}\int_{x}^{0}g(u)\,du = -\,g(x).
Aqui g(u)=\sqrt{u^{2}+4u}.

Passo 4

Logo, para todo x\in A,
f'(x) = -\,\sqrt{x^{2}+4x}.

Resposta

f'(x) = -\sqrt{x^{2}+4x},\quad x\in(-\infty,-4]\cup[0,\infty).

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