Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto
, finito, que gere o subespaço vetorial
do espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede um conjunto finito
que gere o subespaço
ou seja, o espaço de todas as matrizes simétricas
. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais finitamente gerados: vamos usar que qualquer matriz simétrica
pode ser escrita como combinação linear de matrizes fixas, definindo assim um gerador (e até base) de
.
Passo 2
Note que para uma matriz simétrica
os coeficientes
são livres. Podemos então escrever
Isso mostra que as três matrizes que aparecem como coeficientes geram todo
.
Passo 3
Portanto, um conjunto finito que gera
é
Qualquer matriz simétrica
é combinação linear dos três elementos de
.