Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gere o subespaço vetorial W do espaço vetorial V=R^3.
W=A in V=M2(R) ; A^t=A

Passo 1

O enunciado pede um conjunto finito que gere o subespaço
ou seja, o espaço de todas as matrizes simétricas . O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais finitamente gerados: vamos usar que qualquer matriz simétrica
pode ser escrita como combinação linear de matrizes fixas, definindo assim um gerador (e até base) de .

Passo 2

Note que para uma matriz simétrica
os coeficientes são livres. Podemos então escrever
Isso mostra que as três matrizes que aparecem como coeficientes geram todo .

Passo 3

Portanto, um conjunto finito que gera W é
S = 1&00&0, ; 0&11&0, ; 0&00&1
Qualquer matriz simétrica A é combinação linear dos três elementos de S.

Resposta

S = l1&00&0,,0&11&0,,0&00&1r gera o subespaço W.

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