Questão 21: Resolva os sistemas de equações lineares.
l2 x1+2 x2+2 x3=0 -2 x1+5 x2+2 x3=1 8 x1+x2+4 x3=-1

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
2x1+2x2+2x3=0, -2x1+5x2+2x3=1, 8x1+x2+4x3=-1,
e pede as soluções (x1,x2,x3). O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss, onde vamos zerar sucessivamente as incógnitas em algumas equações para obter um sistema escalonado.

Passo 2

Para eliminar x1 da segunda equação, somamos a primeira equação à segunda:
(-2x1+5x2+2x3) + (2x1+2x2+2x3) =1 + 0
o que dá
7x2 +4x3 =1
Para eliminar x1 da terceira equação, subtraímos 4 vezes a primeira da terceira:
(8x1+x2+4x3) -4(2x1+2x2+2x3) =-1 -0
o que leva a
-7x2 -4x3 = -1

Passo 3

O sistema agora é
2x1+2x2+2x3=0, 7x2+4x3=1, -7x2-4x3=-1
Observamos que a terceira equação é exatamente -1 vezes a segunda, ou seja, não traz informação nova. Logo, temos apenas duas equações independentes para três incógnitas, e o sistema terá infinitas soluções.

Passo 4

Da segunda equação escalonada isolamos x2:
7x2 +4x3=1 Longrightarrow x2=1-4x37
Na primeira equação original,
2x1+2x2+2x3=0
Longrightarrow x1=-x2-x3
Substituindo x2=(1-4x3)/7 obtemos
x1=-1-4x37-x3 =-1+3x37

Passo 5

Como sobra um grau de liberdade, definimos o parâmetro
x3=t, tinR
Portanto a solução geral do sistema é
(x1,x2,x3) =l(-1+3t7,,1-4t7,,tr), tinR

Resposta

(x1,x2,x3) =l(-tfrac1+3t7,,tfrac1-4t7,,tr), tinR

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