Questão 23: Calcule det(A) onde
A=[cccc3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para uma matriz 4times4. O conteúdo aqui é determinante por expansão de cofatores, e vamos escolher a coluna 4 pois nela há só dois elementos não nulos, simplificando as contas.

Passo 2

Fazendo expansão de Laplace ao longo da coluna 4, os únicos termos não nulos são em (2,4) e (3,4). Logo
det(A) =(-1)^2+4a2,4det(M2,4) +(-1)^3+4a3,4det(M3,4) =;a2,4det(M2,4)-a3,4det(M3,4)
Como a2,4=1 e a3,4=3,
det(A)=det(M2,4)-3,det(M3,4)

Passo 3

O menor M2,4 é a matriz que resta de A eliminando a linha 2 e a coluna 4:
M2,4= 3 & -1 & 5 2 & 0 & -1 1 & 1 & 2
Calculamos
det(M2,4) =3det0 & -11 & 2 -(-1)det2 & -11 & 2 +5det2 & 01 & 1
Cada cofator dá
det0 & -11 & 2=1, det2 & -11 & 2=5, det2 & 01 & 1=2
Então
det(M2,4)=3cdot1+(+1)cdot5+5cdot2=3+5+10=18

Passo 4

O menor M3,4 vem de eliminar linha 3 e coluna 4 de A:
M3,4= 3 & -1 & 5 0 & 2 & 0 1 & 1 & 2
Expandindo pela primeira linha:
det(M3,4) =3det2 & 01 & 2 -(-1)det0 & 01 & 2 +5det0 & 21 & 1
Calculando cada subdeterminante:
det2 & 01 & 2=4, det0 & 01 & 2=0, det0 & 21 & 1=-2
Logo
det(M3,4)=3cdot4+1cdot0+5cdot(-2)=12-10=2

Passo 5

Substituindo em det(A)=det(M2,4)-3,det(M3,4), temos
det(A)=18-3cdot2=18-6=12

Resposta

12

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