Em cada um dos itens abaixo, encontre, se existir, a equação da reta tangente à representação geométrica do gráfico da função f: R R nos pontos P=(x0, f(x0)) especificados:
f(x)=x cos (x), P=(pi2, 0)

Passo 1

Aqui a gente quer achar a reta tangente ao gráfico de f(x)=xcos(x) no ponto P=l(x0,f(x0)r) com x0=pi/2. Para isso, precisamos lembrar que a reta tangente em x0 tem equação
y - f(x0) ;=; f'(x0),l(x - x0r),
onde f'(x0) é a derivada de f em x0. Então vamos: (1) calcular f'(x), (2) avaliar em x0=pi/2, e (3) montar a equação.

Passo 2

Usamos a regra do produto para derivar
f(x)=xcos(x)
Segundo a regra do produto,
f'(x)=ddx[x]cdotcos(x) ;+; xcdotddx[cos(x)]
ou seja,
f'(x)=1cdotcos(x) ;+; xcdotl(-sin(x)r) ;=;cos(x)-xsin(x)

Passo 3

Agora avaliamos f'(x) em x0=pi/2:
f'l(tfracpi2r) =cosl(tfracpi2r) -tfracpi2,sinl(tfracpi2r) =0 ;-;tfracpi2cdot1 =-tfracpi2
E também f(pi/2)=(pi/2)cos(pi/2)=0, confirmando que o ponto é l(tfracpi2,0r).

Passo 4

Substituindo em
y - fl(tfracpi2r) =;f'l(tfracpi2r),l(x-tfracpi2r)
ficamos com
y - 0 =-tfracpi2,l(x-tfracpi2r)
Se quisermos, podemos desenvolver:
y=-tfracpi2x + tfracpi2cdottfracpi2 =-tfracpi2x + tfracpi^24

Resposta

A equação da reta tangente é
y=-tfracpi2,x + tfracpi^24

Exercícios relacionados