Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potêncio:
sumn=1^+00 (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
O conteúdo principal aqui é o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an=(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
Aplicamos o teste da razão, calculando
|an+1an| =l|xr|^2(n+1)+1(2(n+1)+1)!,(2n+1)!l|xr|^2n+1 =|x|^2n+3|x|^2n+1cdot(2n+1)!(2n+3)! =|x|^2(2n+2)(2n+3)

Passo 3

Como
limntoinfty|x|^2(2n+2)(2n+3)=0<1
para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x. Portanto o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Concluímos que o intervalo de convergência é todo o eixo real, isto é
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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