Encontre uma representação em série de potência para as funções dadas e determine o intervalo de convergência.
f(x)=ln (s-x)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potência de f(x)=ln(s-x) em torno de x=0 (série de Maclaurin) e o intervalo em que ela converge. Vamos usar a propriedade de logaritmo para reduzir a um caso padrão e, em seguida, aplicar a série de ln(1-t).

Passo 2

Reescrevemos
ln(s - x) = lnl[sl(1 - tfracxsr)r] =ln s + lnl(1 - tfracxsr)

Passo 3

Lembrando a série clássica
ln(1 - t) = -sumn=1^inftyt^nn,
válida para lvert trvert<1.

Passo 4

Fazendo t = tfracxs obtemos
lnl(1 - tfracxsr) =-sumn=1^infty1nl(xsr)^n =-sumn=1^inftyx^nn,s^n
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ln(s - x) =ln s ;-;sumn=1^inftyx^nn,s^n

Passo 5

A condição de convergência lvert trvert<1 vira
llvert tfracxsrrvert<1 Longrightarrow lvert xrvert<lvert srvert

Resposta

boxed ln(s-x) =ln s ;-;sumn=1^inftyx^nn,s^n, com convergência para |x|<|s| ê

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