Para cada um dos itens abaixo, encontre matrizes
e
que sejam contraexemplos da afirmação apresentada.
(a)
implica que
ou
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar matrizes
e
que sirvam como contraexemplos para a afirmação: Se
, então
ou
. Isso está relacionado ao conceito de matrizes nulas e multiplicação de matrizes. Para resolver, precisamos encontrar duas matrizes que, quando multiplicadas, deem a matriz nula
, mas nenhuma das duas matrizes seja a matriz nula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa que a multiplicação das matrizes
e
resulta na matriz nula, ou seja, todos os elementos de
são zero. Porém, a afirmação que nos foi apresentada diz que se isso acontece, então pelo menos uma das matrizes
ou
deve ser a matriz nula.
Passo 3
Para encontrar um contraexemplo, vamos escolher matrizes que não sejam nulas, mas cuja multiplicação resulte na matriz nula. Vamos optar por matrizes
para facilitar.
Passo 4
Vamos definir:
Essas matrizes não são nulas, mas vamos multiplicá-las para ver o que acontece.
Passo 5
Multiplicando
por
:
Ou seja,
.
Passo 6
Vimos que
, mas nem
nem
são matrizes nulas. Portanto, essas matrizes
e
são um contraexemplo válido para a afirmação inicial.
Resposta
Um contraexemplo válido é:
Pois
, mas
e
.