Para cada um dos itens abaixo, encontre matrizes A e B que sejam contraexemplos da afirmação apresentada.
(a) A B=0 implica que A=0 ou B=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar matrizes e que sirvam como contraexemplos para a afirmação: Se , então ou . Isso está relacionado ao conceito de matrizes nulas e multiplicação de matrizes. Para resolver, precisamos encontrar duas matrizes que, quando multiplicadas, deem a matriz nula , mas nenhuma das duas matrizes seja a matriz nula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa que a multiplicação das matrizes e resulta na matriz nula, ou seja, todos os elementos de são zero. Porém, a afirmação que nos foi apresentada diz que se isso acontece, então pelo menos uma das matrizes ou deve ser a matriz nula.

Passo 3

Para encontrar um contraexemplo, vamos escolher matrizes que não sejam nulas, mas cuja multiplicação resulte na matriz nula. Vamos optar por matrizes para facilitar.

Passo 4

Vamos definir:
A = 1 & 1 1 & 1
B = 1 & -1 -1 & 1
Essas matrizes não são nulas, mas vamos multiplicá-las para ver o que acontece.

Passo 5

Multiplicando AB = 1 & 1 1 & 1 1 & -1 -1 & 1 = (1)(1) + (1)(-1) & (1)(-1) + (1)(1) (1)(1) + (1)(-1) & (1)(-1) + (1)(1) = 0 & 0 0 & 0 por :
Ou seja, .

Passo 6

Vimos que , mas nem nem são matrizes nulas. Portanto, essas matrizes e são um contraexemplo válido para a afirmação inicial.

Resposta

Um contraexemplo válido é:
A = 1 & 1 1 & 1 , B = 1 & -1 -1 & 1
Pois , mas e .

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