Sejam u=(2,-4,6), v=(-3,12,-4) e w=(6,3,-1). Determine o vetor x tal que: 3(u+2 x)=4 x+2 w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três vetores no espaço tridimensional: , e . A tarefa é encontrar o vetor que satisfaz a equação .
Aqui, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como adição de vetores e multiplicação por escalar. Precisaremos organizar a equação para isolar o vetor e resolver para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão à esquerda da equação. Sabemos que multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada uma de suas componentes por esse escalar. Então:
3(u + 2x) = 3u + 6x
Agora, a equação fica:
3u + 6x = 4x + 2w

Passo 3

Nosso próximo passo é isolar os termos que contêm 3u + 6x - 4x = 2w de um lado da equação e os demais termos do outro lado. Subtraímos 3u + 2x = 2w de ambos os lados:
Simplificando os termos com :

Passo 4

Agora, vamos isolar 2x = 2w - 3u subtraindo x = 2w - 3u2 de ambos os lados:
Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por 2:

Passo 5

Vamos calcular 2w = 2 times (6, 3, -1) = (12, 6, -2) e 3u = 3 times (2, -4, 6) = (6, -12, 18) substituindo pelos vetores dados:
2w - 3u = (12 - 6, 6 - (-12), -2 - 18) = (6, 18, -20)
Subtraindo de :

Passo 6

Agora, dividimos cada componente por 2 para encontrar x = (6, 18, -20)2 = ( 62, 182, -202 ) = (3, 9, -10) :

Resposta

O vetor que satisfaz a equação dada é .

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