Mostre que a matriz
é linha equivalente a uma única matrizlinha reduzida à forma escada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a matriz
é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada. Para isso, vamos usar conceitos de operações elementares de linha e forma escalonada reduzida na matéria de Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linha equivalente. Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra através de uma sequência de operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra linha.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a matriz
em uma forma escalonada reduzida. Uma matriz está na forma escalonada reduzida se:
- O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha anterior.
- Cada pivô é igual a 1.
- Cada coluna que contém um pivô tem todos os outros elementos iguais a zero.
Passo 4
Vamos aplicar operações de linha para alcançar essa forma. Começamos com a matriz
:
Primeiro, queremos que o elemento
seja igual a 1. Para isso, se
, multiplicamos a primeira linha por
:
Passo 5
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô, ou seja, transformar
em 0. Para isso, subtraímos
vezes a primeira linha da segunda linha:
Simplificando o segundo elemento da segunda linha:
Passo 6
Se
, podemos fazer desse elemento 1 dividindo a segunda linha por
:
Passo 7
Por fim, vamos zerar o elemento acima do pivô da segunda linha. Subtraímos
vezes a segunda linha da primeira linha:
Resposta
Assim, mostramos que a matriz
é linha equivalente à matriz identidade
, que é a única forma escalonada reduzida para uma matriz
.