Mostre que a matriz A=[lla & b c & d] é linha equivalente a uma única matrizlinha reduzida à forma escada.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a matriz a & b c & d é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada. Para isso, vamos usar conceitos de operações elementares de linha e forma escalonada reduzida na matéria de Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linha equivalente. Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra através de uma sequência de operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma escalonada reduzida. Uma matriz está na forma escalonada reduzida se:
  1. O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) está à direita do pivô da linha anterior.
  2. Cada pivô é igual a 1.
  3. Cada coluna que contém um pivô tem todos os outros elementos iguais a zero.

Passo 4

Vamos aplicar operações de linha para alcançar essa forma. Começamos com a matriz A = a & b c & d :
1 & ba c & d
Primeiro, queremos que o elemento seja igual a 1. Para isso, se , multiplicamos a primeira linha por :

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô, ou seja, transformar 1 & ba 0 & d - c cdot ba em 0. Para isso, subtraímos d - b ca = a d - b ca vezes a primeira linha da segunda linha:
Simplificando o segundo elemento da segunda linha:

Passo 6

Se 1 & ba 0 & 1 , podemos fazer desse elemento 1 dividindo a segunda linha por :

Passo 7

Por fim, vamos zerar o elemento acima do pivô da segunda linha. Subtraímos 1 & 0 0 & 1 vezes a segunda linha da primeira linha:

Resposta

Assim, mostramos que a matriz 1 & 0 0 & 1 é linha equivalente à matriz identidade , que é a única forma escalonada reduzida para uma matriz .

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