Para cada um dos itens abaixo, encontre matrizes
e
que sejam contraexemplos da afirmação apresentada.
© Se
e
são simétricas, então
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar duas matrizes
e
que sejam simétricas, mas que não comutem, ou seja, que
. Isso envolve entender o que são matrizes simétricas e como verificar se duas matrizes comutam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.
Passo 3
Agora, queremos duas matrizes simétricas
e
que não comutem. Vamos escolher matrizes 2x2 simples para facilitar.
Passo 4
Escolha a primeira matriz
como:
Essa matriz é simétrica porque
.
Passo 5
Escolha a segunda matriz
como:
Essa também é simétrica, já que
.
Passo 6
Agora, vamos multiplicar
por
:
Passo 7
E multiplicar
por
:
Passo 8
Comparando
e
, vemos que:
Portanto,
.
Resposta
As matrizes
são simétricas e satisfazem
, servindo como contraexemplo.