Para cada um dos itens abaixo, encontre matrizes A e B que sejam contraexemplos da afirmação apresentada.
© Se A e B são simétricas, então A B=B A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar duas matrizes A e B que sejam simétricas, mas que não comutem, ou seja, que A B neq B A. Isso envolve entender o que são matrizes simétricas e como verificar se duas matrizes comutam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que os elementos estão espelhados em relação à diagonal principal.

Passo 3

Agora, queremos duas matrizes simétricas A e B que não comutem. Vamos escolher matrizes 2x2 simples para facilitar.

Passo 4

Escolha a primeira matriz A como:
A = 0 & 1 1 & 0
Essa matriz é simétrica porque A = A^T.

Passo 5

Escolha a segunda matriz B como:
B = 1 & 1 1 & -1
Essa também é simétrica, já que B = B^T.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar A por B:
A B = 0 & 1 1 & 0 1 & 1 1 & -1 = 1 & -1 1 & 1

Passo 7

E multiplicar B por A:
B A = 1 & 1 1 & -1 0 & 1 1 & 0 = 1 & 1 -1 & 1

Passo 8

Comparando A B e B A, vemos que:
A B = 1 & -1 1 & 1 neq 1 & 1 -1 & 1 = B A
Portanto, A B neq B A.

Resposta

As matrizes
A = 0 & 1 1 & 0 e B = 1 & 1 1 & -1
são simétricas e satisfazem A B neq B A, servindo como contraexemplo.

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