Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva e a integral indefinida da função f, onde:
f(x)=\frac{3+e^{4 x}}{e^{4 x}}, para x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma primitiva (antiderivada) e a integral indefinida da função
f(x)=\frac{3+e^{4x}}{e^{4x}},
no domínio x\in\mathbb{R}.
Conteúdo necessário: usar a propriedade de divisão de potências de e, linearidade da integral e a regra
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax}.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando usando
\frac{3+e^{4x}}{e^{4x}} = \frac{3}{e^{4x}} + \frac{e^{4x}}{e^{4x}} =3\,e^{-4x} + 1.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int f(x)\,dx =\int\bigl(1 + 3\,e^{-4x}\bigr)\,dx =\int 1\,dx + 3\int e^{-4x}\,dx.
Aplicando as regras:
\int 1\,dx = x, \qquad \int e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}\,e^{-4x}.

Passo 4

Multiplicando por 3 e somando:
3\int e^{-4x}\,dx = 3\Bigl(-\tfrac{1}{4}\,e^{-4x}\Bigr) =-\tfrac{3}{4}\,e^{-4x}.
Portanto uma primitiva geral é
F(x)=x - \frac{3}{4}\,e^{-4x} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A primitiva de f é
F(x)=x - \frac{3}{4}\,e^{-4x}
e a integral indefinida é
\int \frac{3+e^{4x}}{e^{4x}}\,dx = x - \frac{3}{4}\,e^{-4x} + C.

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