Em cada um dos itens abaixo, encontre uma primitiva e a integral indefinida da função f, onde:
f(x)=\left(x^{2}-9\right)^{\frac{2}{3}} x, para |x| \geq 3

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva F de
f(x) = \bigl(x^{2}-9\bigr)^{\tfrac{2}{3}}\,x,
para \lvert x\rvert\ge3.
O conteúdo aqui é integração por substituição, já que vemos x^{2}-9 e seu derivado proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} - 9 \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Reescrevendo a integral indefinida \displaystyle\int f(x)\,dx em u:
\int \bigl(x^{2}-9\bigr)^{\tfrac{2}{3}}\,x\,dx = \int u^{\tfrac{2}{3}}\;\frac{du}{2} = \frac12\int u^{\tfrac{2}{3}}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{2/3}:
\frac12\int u^{\tfrac{2}{3}}\,du = \frac12\;\frac{u^{\tfrac{5}{3}}}{\tfrac{5}{3}} + C = \frac12\;\frac{3}{5}\,u^{\tfrac{5}{3}} + C = \frac{3}{10}\,u^{\tfrac{5}{3}} + C.

Passo 5

Voltando a x, temos a primitiva
F(x) = \frac{3}{10}\,\bigl(x^{2}-9\bigr)^{\tfrac{5}{3}} + C.

Resposta

\int \bigl(x^{2}-9\bigr)^{\tfrac{2}{3}}\,x\,dx = \frac{3}{10}\,\bigl(x^{2}-9\bigr)^{\tfrac{5}{3}} + C.

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