Em cada um dos itens abaixo encontre a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço W do espaço vetorial com produto interno V.
V=P(R), com produto interno lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x, h(x)=4+3 x-2 x^2, W=P1(R), onde P1(R) é o espaço dos polinômios de grau <= 1.

Passo 1

A questão pede a projeção ortogonal de h(x)=4+3x−2x² no subespaço W=𝒫₁(ℝ) equipados com o produto interno ⟨f,g⟩=∫₀¹f(x)g(x)dx. Vamos usar o fato de que a projeção ortogonal p(x)∈W satisfaz h−p ⟂ W, ou seja, ⟨h−p,q⟩=0 para todo q∈W.

Passo 2

Como W=𝒫₁(ℝ), escolhemos a forma geral p(x)=a+bx. A condição de ortogonalidade exige ⟨h−p,1⟩=0 e ⟨h−p,x⟩=0.

Passo 3

Calculamos ⟨h−p,1⟩=∫₀¹[4+3x−2x²−(a+bx)]dx. Separando termos e integrando obtemos
,(4−a),+,3−b2,−,23,=0
que, ao multiplicar por 6 e simplificar, leva a
6a+3b=29

Passo 4

Em seguida, ⟨h−p,x⟩=∫₀¹[4+3x−2x²−(a+bx)]x,dx. Fazendo as integrais aparece
4−a2+3−b3-12=0
que se reduz a
3a+2b=15

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
6a+3b=293a+2b=15
para encontrar a=13/3 e b=1.

Passo 6

Assim, a projeção ortogonal de h em W é o polinômio
p(x)=133+x

Resposta

p(x)=\tfrac{13}{3}+x

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