Em cada um dos itens abaixo encontre a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço
do espaço vetorial com produto interno
.
, com produto interno
, onde
é o espaço dos polinômios de grau
.
Passo 1
A questão pede a projeção ortogonal de h(x)=4+3x−2x² no subespaço W=𝒫₁(ℝ) equipados com o produto interno ⟨f,g⟩=∫₀¹f(x)g(x)dx. Vamos usar o fato de que a projeção ortogonal p(x)∈W satisfaz h−p ⟂ W, ou seja, ⟨h−p,q⟩=0 para todo q∈W.
Passo 2
Como W=𝒫₁(ℝ), escolhemos a forma geral p(x)=a+bx. A condição de ortogonalidade exige ⟨h−p,1⟩=0 e ⟨h−p,x⟩=0.
Passo 3
Calculamos ⟨h−p,1⟩=∫₀¹[4+3x−2x²−(a+bx)]dx. Separando termos e integrando obtemos
que, ao multiplicar por 6 e simplificar, leva a
Passo 4
Em seguida, ⟨h−p,x⟩=∫₀¹[4+3x−2x²−(a+bx)]x,dx. Fazendo as integrais aparece
que se reduz a
Passo 5
Agora resolvemos o sistema
para encontrar a=13/3 e b=1.
Passo 6
Assim, a projeção ortogonal de h em W é o polinômio
Resposta
p(x)=\tfrac{13}{3}+x