Determine o vetor de
mais próximo de
nos seguintes casos:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos achar o vetor em F = {(x₁,x₂,x₃,x₄)∈ℝ⁴: x₁−x₃−x₄=0} mais próximo de u=(1,1,1,1). Isso é uma projeção ortogonal de u sobre o subespaço F.
Passo 2
Como F é definido pela equação x₁−x₃−x₄=0, podemos escrever F como o núcleo de aᵀx, com a = (1,0,−1,−1). Pela teoria de projeção ortogonal em subespaços, temos
Passo 3
Vamos calcular aT u e ∥a∥². Como a = (1,0,−1,−1) e u=(1,1,1,1), temos
Passo 4
Substituindo na fórmula da projeção:
Resposta
(4/3, 1, 2/3, 2/3)