Determine o vetor de F mais próximo de u nos seguintes casos:

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar o vetor em F = {(x₁,x₂,x₃,x₄)∈ℝ⁴: x₁−x₃−x₄=0} mais próximo de u=(1,1,1,1). Isso é uma projeção ortogonal de u sobre o subespaço F.

Passo 2

Como F é definido pela equação x₁−x₃−x₄=0, podemos escrever F como o núcleo de aᵀx, com a = (1,0,−1,−1). Pela teoria de projeção ortogonal em subespaços, temos
projF(u) = u - a^T u|a|^2,a

Passo 3

Vamos calcular aT u e ∥a∥². Como a = (1,0,−1,−1) e u=(1,1,1,1), temos
a^T u = 1·1 + 0·1 + (−1)·1 + (−1)·1 = -1,
|a|^2 = 1^2 + 0^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = 3

Passo 4

Substituindo na fórmula da projeção:
projF(u) = (1,1,1,1) - -13(1,0,-1,-1) = (1,1,1,1) + tfrac13(1,0,-1,-1) = l(tfrac43,1,tfrac23,tfrac23r)

Resposta

(4/3, 1, 2/3, 2/3)

Exercícios relacionados