Determine o vetor de
mais próximo de
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede o vetor em F mais próximo de u = (0,0,1), onde F = { (x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³ : 2 x₁ + x₂ - x₃ = 0 }. O conteúdo aqui é projeção ortogonal em um plano, e vamos precisar usar a fórmula de projeção de um vetor em um subespaço dado pelo seu vetor normal.
Passo 2
Para projetar u em F, note que F é um plano com vetor normal n = (2,1,−1). A projeção ortogonal de u no plano é dada por uₚ = u - projₙ(u), onde
Passo 3
Calculamos ⟨u,n⟩ = 2·0 + 1·0 + (−1)·1 = −1 e |n|² = 2² + 1² + (−1)² = 6. Logo o coeficiente é
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Resposta
(1/3, 1/6, 5/6)