Determine o vetor de F mais próximo de u nos seguintes casos:

Passo 1

O enunciado pede o vetor em F mais próximo de u = (0,0,1), onde F = { (x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³ : 2 x₁ + x₂ - x₃ = 0 }. O conteúdo aqui é projeção ortogonal em um plano, e vamos precisar usar a fórmula de projeção de um vetor em um subespaço dado pelo seu vetor normal.

Passo 2

Para projetar u em F, note que F é um plano com vetor normal n = (2,1,−1). A projeção ortogonal de u no plano é dada por uₚ = u - projₙ(u), onde
projn(u) = ⟨u,n⟩|n|^2,n

Passo 3

Calculamos ⟨u,n⟩ = 2·0 + 1·0 + (−1)·1 = −1 e |n|² = 2² + 1² + (−1)² = 6. Logo o coeficiente é
⟨u,n⟩|n|^2 = -tfrac16

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
uproj = (0,0,1) - l(-tfrac16r)(2,1,-1) = (0,0,1) + tfrac16(2,1,-1) = l(tfrac13,tfrac16,tfrac56r)

Resposta

(1/3, 1/6, 5/6)

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