Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
lllalpha & 0 & 0 0 & beta & 0 0 & 0 & beta

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma matriz diagonal 3×3 na base canônica com entradas alpha,beta,beta. O conteúdo é autovalores e autovetores de matrizes diagonais, e para resolver vamos montar o polinômio característico e depois achar as soluções de (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico da matriz A subtraindo lambda da diagonal e calculando o determinante.
detl(A - lambda Ir) = det alpha - lambda & 0 & 0 0 & beta - lambda & 0 0 & 0 & beta - lambda = (alpha - lambda)(beta - lambda)^2

Passo 3

Igualando o polinômio característico a zero, temos as soluções de lambda:
(alpha - lambda)(beta - lambda)^2 = 0

Passo 4

Portanto os autovalores são
lambda1 = alpha
lambda2 = beta (mué

Passo 5

Agora achamos os autovetores, resolvendo (A - lambda I)v = 0 para cada caso.

Passo 6

Para lambda = alpha, a equação fica
(A - alpha I)v = 0 & 0 & 0 0 & beta - alpha & 0 0 & 0 & beta - alpha v1v2v3 = 0
Como beta - alpha neq 0 em geral, obtemos v2 = 0 e v3 = 0, mas v1 é livre. Logo
v = t100, t in R

Passo 7

Para lambda = beta, temos
(A - beta I)v = alpha - beta & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 v1v2v3 = 0
Da primeira linha vem (alpha - beta)v1 = 0, logo v1 = 0 (supondo alpha neq beta). Já v2 e v3 são livres. Assim
v = s010 + t001, s,t in R

Resposta

Os autovalores são lambda1 = alpha (multiplicidade algébrica 1) e lambda2 = beta (multiplicidade algébrica 2). O autovetor associado a alpha é qualquer múltiplo de (1,0,0)^T, e os autovetores associados a beta formam o espaço gerado por (0,1,0)^T e (0,0,1)^T.

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