Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de expressas na base canônica, onde é a dimensão da matriz quadrada, .
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma matriz diagonal 3×3 na base canônica com entradas alpha,beta,beta. O conteúdo é autovalores e autovetores de matrizes diagonais, e para resolver vamos montar o polinômio característico e depois achar as soluções de (A - lambda I)v = 0.
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico da matriz A subtraindo lambda da diagonal e calculando o determinante.
Da primeira linha vem (alpha - beta)v1 = 0, logo v1 = 0 (supondo alpha neq beta). Já v2 e v3 são livres. Assim
v = s010 + t001, s,t in R
Resposta
Os autovalores são lambda1 = alpha (multiplicidade algébrica 1) e lambda2 = beta (multiplicidade algébrica 2). O autovetor associado a alpha é qualquer múltiplo de (1,0,0)^T, e os autovetores associados a beta formam o espaço gerado por (0,1,0)^T e (0,0,1)^T.