Em cada um dos itens abaixo encontre a projeção ortogonal do vetor sobre o subespaço W do espaço vetorial com produto interno V.
V=R^3, u=(2,1,3), W=(x, y, z): x+3 y-2 z=0.

Passo 1

Estamos em R^3 com o produto interno usual, e queremos encontrar a projeção ortogonal do vetor u=(2,1,3) no subespaço W=(x,y,z):x+3y-2z=0.

Passo 2

O subespaço W consiste em todos os vetores ortogonais a n=(1,3,-2), pois W = n^perp. Assim, para projetar u em W podemos usar
projW(u) = u - projlang<= nrang<=(u)

Passo 3

Vamos calcular os produtos internos necessários:
ucdot n = 2cdot1 + 1cdot3 + 3cdot(-2) = -1,
ncdot n = 1^2 + 3^2 + (-2)^2 = 14
Logo,
projlang<= nrang<=(u) = ucdot nncdot n,n = -114,n

Passo 4

Substituindo em projW(u) = u - -114n obtemos:
projW(u) = u + 114n = (2,1,3) + l(114,314,-214r) = l(2914,1714,207r)

Resposta

(tfrac2914,tfrac1714,tfrac207)

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