Determine o vetor de F mais próximo de u nos seguintes casos:
F=S((1,0,0),(0,0,1)), u=(-1,2,0)

Passo 1

O enunciado pede o vetor de F mais próximo de u. Aqui F é o subespaço de R³ gerado por (1,0,0) e (0,0,1), e u = (–1,2,0). O conteúdo principal é projeção ortogonal de um vetor em um subespaço.

Passo 2

Para projetar u em F, vamos usar que {v₁, v₂} = {(1,0,0),(0,0,1)} é uma base ortonormal de F. A projeção ortogonal é dada por projF(u)=sumi=1^2(ucdot vi),vi

Passo 3

Calculamos os produtos internos: ucdot v1 = (-1,2,0)cdot(1,0,0) = -1, v1cdot v1 = 1; ucdot v2 = (-1,2,0)cdot(0,0,1) = 0, v2cdot v2 = 1

Passo 4

Substituindo na fórmula, obtemos projF(u) = (-1),(1,0,0) + 0,(0,0,1) = (-1,0,0)

Resposta

(-1,0,0)

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