Em cada um dos itens abaixo, encontre um sistema de equações lineares que tenha o subespaço S como espaço-solução.
(iii) S=[(2,-1,2,0),(1,2,3,4),(0,-5,-4,-8)] em R^4.

Passo 1

O enunciado pede um sistema homogêneo de equações lineares em cujo espaço-solução seja exatamente
O método geral é encontrar o complemento ortogonal e usar seus vetores como linhas da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro vemos que os três geradores de
resolvemos . Das componentes obtemos o sistema
que tem solução . Logo e
um subespaço de dimensão 2.

Passo 3

Para achar S^perpsubsetR^4 tomamos um vetor genérico (a,b,c,d) e impomos
(a,b,c,d)cdot v1 = 0, (a,b,c,d)cdot v2 = 0
Isso dá o sistema
2a - b + 2c = 0, a + 2b + 3c + 4d = 0

Passo 4

Resolvendo em função de parâmetros c=s e d=t, obtemos
a = -7s+4t5, b=-4s+8t5, c=s, d=t
Duas escolhas naturais de (s,t) são (1,0) e (0,1), que geram vetores em S^perp:
y1 = (-7,-4,5,0), y2 = (-4,-8,0,5)

Passo 5

Cada
Multiplicando cada linha por (-1] (para simplificar o sinal) fica

Resposta

7x1 +4x2 -5x3 =0, 4x1 +8x2 -5x4 =0

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