Em cada um dos itens abaixo, encontre um sistema de equações lineares que tenha o subespaço
como espaço-solução.
(iii)
em
.
(iii)
Passo 1
O enunciado pede um sistema homogêneo de equações lineares em
cujo espaço-solução seja exatamente
O método geral é encontrar o complemento ortogonal
e usar seus vetores como linhas da matriz do sistema.
Passo 2
Primeiro vemos que os três geradores de
resolvemos
. Das componentes obtemos o sistema
que tem solução . Logo
e
um subespaço de dimensão 2.
Passo 3
Para achar
S^perpsubsetR^4 tomamos um vetor genérico
(a,b,c,d) e impomos
Isso dá o sistema
Passo 4
Resolvendo em função de parâmetros
c=s e
d=t , obtemos
Duas escolhas naturais de
(s,t) são
(1,0) e
(0,1) , que geram vetores em
S^perp :
Passo 5
Cada
Multiplicando cada linha por (-1] (para simplificar o sinal) fica