Determine os valores de b in R para os quais o polinômio p(t)=4 t^2+2 t+4 pertença ao subespaço de P2(R) gerado pelos polinômios p1(t)=b(t+1), p2(t)=1-b t^2 e p3(t)=1+b t+b t^2.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de binR tais que
p(t)=4t^2+2t+4
esteja no subespaço de P2(R) gerado por
p1(t)=b(t+1), p2(t)=1-bt^2, p3(t)=1+bt+bt^2
Em outras palavras, queremos saber para que b existe uma combinação linear
x,p1(t)+y,p2(t)+z,p3(t)=p(t)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos de mesmo grau em t, temos
xl[b(t+1)r]+yl[1 - b,t^2r]+zl[1 + b,t + b,t^2r] =4t^2+2t+4
Expandindo e coletando coeficientes:
  • Coeficiente de t^2: -b,y + b,z.
  • Coeficiente de t: b,x + b,z.
  • Coeficiente constante: b,x + y + z.

Passo 3

Igualando coeficientes aos de p(t) obtemos o sistema linear em (x,y,z):
-b,y + b,z = 4, b,x + b,z = 2, b,x + y + z = 4

Passo 4

Escrevemos isso na forma A(b),[x,y,z]^T=[4,2,4]^T, com
A(b)= 0 & -b & b b & 0 & b b & 1 & 1
Calculamos o determinante de A(b):
det A(b) = b^2,(2 - b)
Se det A(b)neq0, o sistema tem solução única e, portanto, p está no span p1,p2,p3.

Passo 5

Verificamos os casos em que det A(b)=0:
  • b=0: então p1=0, p2=p3=1 e o subespaço é só o dos polinômios constantes, logo 4t^2+2t+4 não pertence a ele.
  • b=2: a matriz fica singular e, montando o sistema para b=2, verifica-se que ele é inconsistente (não há solução), ou seja, p também não está ali.

Resposta

O polinômio p(t)=4t^2+2t+4 pertence ao subespaço >=rado por p1,p2,p3 ôç
se, e somente se,
binRsetminus0,2

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