Determine os valores de
para os quais o polinômio
pertença ao subespaço de
gerado pelos polinômios
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
tais que
esteja no subespaço de
gerado por
Em outras palavras, queremos saber para que
existe uma combinação linear
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e agrupando termos de mesmo grau em
, temos
Expandindo e coletando coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Passo 3
Igualando coeficientes aos de
obtemos o sistema linear em
:
Passo 4
Escrevemos isso na forma
A(b),[x,y,z]^T=[4,2,4]^T , com
Calculamos o determinante de
A(b) :
Se
det A(b)neq0 , o sistema tem solução única e, portanto,
p está no span
p1,p2,p3 .
Passo 5
Verificamos os casos em que
det A(b)=0 :
-
: entãob=0 ,p1=0 e o subespaço é só o dos polinômios constantes, logop2=p3=1 não pertence a ele.4t^2+2t+4 -
: a matriz fica singular e, montando o sistema parab=2 , verifica-se que ele é inconsistente (não há solução), ou seja,b=2 também não está ali.p
Resposta
se, e somente se,