Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(i) B=e^t, e^2 t, e^-t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
B=e^t,e^2t,e^-t
é linearmente dependente ou independente em C(R). Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de funções f1,f2,f3 é independente se, sempre que
c1f1(t)+c2f2(t)+c3f3(t)=0para todo tinR,
então c1=c2=c3=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes c1,c2,c3 tais que
c1e^t+c2e^2t+c3e^-t=0 para todo tinR
Queremos mostrar que isso implica c1=c2=c3=0.

Passo 3

Multiplicamos a equação acima por e^t, que nunca zera, obtendo
c1e^2t+c2e^3t+c3=0 para todo tinR
Agora fazemos a troca de variável x=e^t. Como e^t percorre todos os x>0, a identidade vira
c2x^3+c1x^2+c3=0 para todo x>0

Passo 4

A expressão
c2x^3+c1x^2+c3=0
é um polinômio de grau no máximo 3 que se anula em infinitos valores x>0. Logo, esse polinômio é identicamente zero em R, o que força
c2=0, c1=0, c3=0

Resposta

O conjunto e^t,e^2t,e^-t é linearmente independente em C(R).

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