Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em . Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de funções
é independente se, sempre que
é linearmente dependente ou independente em
então
.
Passo 2
Suponha que existam constantes
tais que
Queremos mostrar que isso implica
.
Passo 3
Multiplicamos a equação acima por
, que nunca zera, obtendo
Agora fazemos a troca de variável
. Como
percorre todos os
, a identidade vira
Passo 4
A expressão
é um polinômio de grau no máximo
que se anula em infinitos valores
. Logo, esse polinômio é identicamente zero em
, o que força
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.