Sejam v1, v2, v3 os vetores-linha e w1, w2, w3 os vetores-coluna da matriz [lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9].
(iv) Dê um exemplo de uma matriz 3 times 3 cujos vetores-linha geram um subespaço de R^3 diferente daquele gerado pelos seus vetores-coluna.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz 3times3 cuja família de vetores-linha gera um subespaço de R^3 diferente daquele gerado pelos seus vetores-coluna. Para isso basta escolher uma matriz de posto menor que 3, de modo que ambos os espaços tenham dimensão menor que 3 e verificar que são subespaços distintos.

Passo 2

Escolhemos por exemplo
M = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 0 & 0 & 0

Passo 3

Os vetores-linha de são
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Passo 4

As colunas de são
Portanto

Passo 5

Temos
RowSpace(M)=t(1,1,1)mid tinR, ColSpace(M)=s(1,2,0)mid sinR
Como (1,1,1) não é múltiplo escalar de (1,2,0), esses dois subespaços de R^3 são distintos.

Resposta

1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 0 & 0 & 0

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