Em cada um dos itens abaixo, encontre um sistema de equações lineares que tenha o subespaço S como espaço-solução.
(ii) S=[(-1,0,0,1),(0,-1,-2,3)] em R^4.

Passo 1

O enunciado pede um sistema de equações lineares em R^4 cujo espaço–solução seja exatamente
S = llang<=(-1,0,0,1),,(0,-1,-2,3)rrang<=
O conteúdo usado será:
– representar um vetor genérico (x1,x2,x3,x4) como combinação linear dos geradores de S,
– eliminar os parâmetros para chegar às equações que definem o subespaço.

Passo 2

Seja (x1,x2,x3,x4)in S. Então existem escalares a,b tais que
(x1,x2,x3,x4) = a,(-1,0,0,1) + b,(0,-1,-2,3)
Isso gera o sistema paramétrico
x1 = -a, x2 = -b, x3 = -2b, x4 = a + 3b

Passo 3

Das duas primeiras igualdades extraímos
a = -x1, b = -x2
Substituindo em x3 e x4 obtemos as condições sobre (x1,x2,x3,x4):
x3 = -2b = -2(-x2) = 2x2,
x4 = a + 3b = (-x1) + 3(-x2) = -x1 - 3x2

Passo 4

As duas condições acima podem ser escritas como um sistema de equações lineares cujo espaço–solução é S:
x3 - 2x2 = 0,
x4 + x1 + 3x2 = 0

Resposta

x3 - 2x2 = 0, x4 + x1 + 3x2 = 0

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